我非常喜欢和我们的老朋友约翰·佩里谈论哲学家戈特洛布·弗雷格，他在19世纪的逻辑和数学理论至今仍有影响力。我们的听众丹尼尔向约翰提出了一个很好的问题，我们在节目中没有时间回答。我想说一下Daniel的问题，尤其是今天是Frege的生日!

丹尼尔对弗雷格试图将数学建立为逻辑的延伸感到好奇。弗雷格认为数学是分析的，这意味着“2”和“4”这样的数学术语的定义保证了“2+2=4”这样的句子的真理。弗雷格的理论解释了我们如何认识数学;只要我们能够理解数学术语的含义，并且能够进行逻辑推理，我们的数学知识就有了保证。但是为了使这个理论成立，这个理论必须依赖于弗雷格对一个数的定义。

弗雷格用函数来解释数字，比如用+号标记的加法函数。“雷”这个名字能挑出一个人，但加号能挑出什么呢?它似乎并没有选出一个数字。充其量，你可以用它把一个数字写在其他数字的名字旁边来挑出一个数字:“2+3”挑出数字5。但是“+”本身并不能命名一个对象;它代表一个函数。

弗雷格认为像“哲学家”这样的谓词也代表功能。“哲学家”这个词并不代表任何特定的哲学家——它指的是雷、乔什、玛丽·沃斯通克拉夫特、弗雷格、弗朗茨·法农……等等。相反，它选择了一个函数。如果您填写一个名字和几个连接词，您可以用它来构建一个句子，如“Ray是一个哲学家”，这个句子将挑选出一些东西——可能是Ray是一个哲学家的事务状态，或者可能是一个名为True的神秘布尔对象。

弗雷格认为，“3”实际上更像是一个函数的词，而不是一种特定事物(一个数字)的名称。想想作为Brontë姐妹的属性。这个属性有它自己的属性，比如至少适用于一个人的属性。(您可能会说，常规属性属于普通对象，而高级属性适用于属性。)作为Brontë姐妹的一个属性是适用于三件事情。我们可以把数字“3”看作是从所有属性中挑选出一个更高级别的属性，这些属性恰好适用于三件事(例如，是Brontë姐妹，是猎户座腰带上的一颗恒星，或者是《指环王》三部曲中的一部小说)。

弗雷格的数论还有很多，但丹尼尔的问题在这里。丹尼尔写道:

因为有第一级函数，表示不完整的对象，也有第二级函数，表示其他函数。概念也是如此:第一级概念指的是完整的对象，第二级概念指的是其他的引用。然而，弗雷格发现，正是功能层次之间的区别是非常规的，属于自然本身，为数学推理彻底简化为逻辑推理奠定了潜在的基础，从而为前者在自然研究中的有效性提供了解释基础，因为后者来自于与自然的内在统一。

他接着问道:二级函数(和属性)是否真的存在，或者我们能否以某种方式将它们简化为一级函数(和属性)?

我不知道约翰会怎么说，但我认为二级属性肯定存在。应用于三种事物的性质并不是普通物体的性质。(我想我可以申请三份工作，但这与申请三个Brontë姐妹、三个明星或三部《指环王》小说完全不同。)逻辑学家知道我可以通过诉诸第二级属性来表达我无法用任何其他方式表达的东西。(乔治·布洛斯举了一个简单的例子:有些评论家只互相欣赏。布洛斯的这句话说的是，有某种性质，每个评论家都钦佩其他具有这种性质的评论家，而不是其他人。)

二级函数在数学中非常有用。如果我想研究投票数学的一个分支叫做社会选择理论，我可能会从一个为每个选民分配偏好的函数开始。然后我可以问一些问题，社会的偏好应该是什么样的，基于个人选民的偏好。不同可能的答案可以表示为二级函数，二级函数以选民偏好函数为输入，将社会的偏好排序返回为输出。

第二级函数也很重要测量理论你可以把它想象成以物体为输入，以数字为输出的函数(以千克表示质量，以开尔文表示温度，或以美元表示价格等特征)。我们可以通过考虑转换函数来了解一些关于标度的有趣的事情，把一个标度，比如开尔文温标，转换到另一个标度，比如华氏度温标。由于比例尺已经是一个函数，转换函数是将一个函数映射到另一个函数的二级函数。

对于应该相信哪些二级属性函数，有一些理由要谨慎。在语义自我参照的悖论在美国，有些短语似乎挑出了完美的二级属性，却导致了奇怪的、可能相互矛盾的结果。(考虑一下异语的性质，也就是说，是一个本身不真实的词。“长”这个词是异义的，因为它很短;“单音节”这个词是异义的，因为它有多个音节。“异学”这个词是异学的吗?哦,不…)

也许，抛开表象，二级属性和函数完全是虚构的。我不能排除这种可能性。一些唯名论的认为所有的属性和函数都是完全虚构的，包括第一级属性和函数，没有人能明确地证明它们是错的。但由于我通常认为事物大致就是它们看起来的样子，所以我相信存在第二级属性和功能。不过，我觉得弗雷格可能在其他方面也搞错了!我当然喜欢和乔希和约翰争论这件事。